Question

已知：在△ABC中，BC＞AC，動點D繞△ABC的頂點A逆時針旋轉，且AD=BC，連接DC．過AB、DC的中點E、F作直線，直線EF與直線AD、BC分別相交于點M、N．
（1）如圖1，當點D旋轉到BC的延長線上時，點N恰好與點F重合，取AC的中點H，連接HE、HF，根據三角形中位線定理和平行線的性質，可得結論∠AMF=∠BNE（不需證明）；
（2）當點D旋轉到圖2或圖3中的位置時，∠AMF與∠BNE有何數量關系？請分別寫出猜想，并任選一種情況證明．

Answer 1

分析：兩題思路基本相同，都需要作出兩條輔助線，兩次運用中位線定理解答．

解答：解：（1）圖1：∠AMF=∠ENB；
圖2：∠AMF=∠ENB；
圖3：∠AMF+∠ENB=180°．

（2）證明：如圖2，取AC的中點H，連接HE、HF．
∵F是DC的中點，H是AC的中點，
∴HF∥AD，HF=

1

2

AD，
∴∠AMF=∠HFE，
同理，HE∥CB，HE=

1

2

CB，
∴∠ENB=∠HEF．
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠ENB=∠AMF．

如圖3：取AC的中點H，連接HE、HF．
∵F是DC的中點，H是AC的中點，
∴HF∥AD，HF=

1

2

AD，
∴∠AMF+∠HFE=180°，
同理，HE∥CB，HE=

1

2

CB，
∴∠ENB=∠HEF．
∵AD=BC，
∴HF=HE，
∴∠HEF=∠HFE，
∴∠AMF+∠ENB=180°．

點評：此題構思巧妙，融合了中位線定理，平行線的性質等概念，難點是需要作出兩條輔助線．