Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸為l，l與x軸的交點(diǎn)為D．在直線l上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S．求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；并求S最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）在直線l上存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）；（3）S＝﹣t2+t，當(dāng)t ＝時(shí)，S有最大值，此時(shí)P（，）

【解析】

（1）把點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出C、D坐標(biāo)，假設(shè)直線l上存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，求出點(diǎn)P坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)M坐標(biāo)；

（3）過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F，求出直線BC解析式，表示出線段PF長(zhǎng)，根據(jù)即可得到S關(guān)于t的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對(duì)稱軸l于點(diǎn)E，

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1．

當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE＝PE，DE＝ME，

∵點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為0，點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)t＝1×2﹣0＝2，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，3），

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）．

故在直線l上存在點(diǎn)M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，6）．

（3）在圖2中，過點(diǎn)P作PF∥y軸，交BC于點(diǎn)F．

設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），

將B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，

，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．

∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），

∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，

∴ ，

∴當(dāng)t ＝時(shí)，S有最大值，此時(shí)P（，）．