Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c的開口向上，與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的右側），點A的坐標為（m，0），且AB＝4．

（1）填空：點B的坐標為　 　（用含m的代數式表示）；

（2）把射線AB繞點A按順時針方向旋轉135°與拋物線交于點P，△ABP的面積為8：

①求拋物線的解析式（用含m的代數式表示）；

②當0≤x≤1，拋物線上的點到x軸距離的最大值為時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）（m﹣4，0）；（2）①y＝（x﹣m）（x﹣m+4）；②m的值為：2+2或3﹣2或2≤m≤3．

【解析】

（1）A的坐標為（m，0），AB=4，則點B坐標為（m-4，0）；

（2）①S△ABP= AByP=2yP=8，即：yP=4，求出點P的坐標為（4+m，4），即可求解；

②拋物線對稱軸為x=m-2．分x=m-2≥1、0≤x=m-2≤1、x=m-2≤0三種情況，討論求解.

解：（1）A的坐標為（m，0），AB＝4，則點B坐標為（m﹣4，0），故答案為（m﹣4，0）；

（2）①S△ABP＝AByP＝2yP＝8，∴yP＝4，

把射線AB繞點A按順時針方向旋轉135°與拋物線交于點P，此時，直線AP表達式中的k值為1，

設：直線AP的表達式為：y＝x+b，

把點A坐標代入上式得：m+b＝0，即：b＝﹣m，

則直線AP的表達式為：y＝x﹣m，

則點P的坐標為（4+m，4），

則拋物線的表達式為：y＝a（x﹣m）（x﹣m+4），

把點P坐標代入上式得：a（4+m﹣m）（4+m﹣m+4）＝4，

解得：a＝，

則拋物線表達式為：y＝（x﹣m）（x﹣m+4），

②拋物線的對稱軸為：x＝m﹣2，

當x＝m﹣2≥1（即：m≥3）時，x＝0時，拋物線上的點到x軸距離為最大值，

即：（0﹣m）（0﹣m+4）＝，解得：m＝2或2±2，

∵m≥3，故：m＝2+2；

當0≤x＝m﹣2≤1（即：2≤m≤3）時，在頂點處，拋物線上的點到x軸距離為最大值，

即：﹣（m﹣2﹣m）（m﹣2﹣m+4）＝，符合條件，

故：2≤m≤3；

當x＝m﹣2≤0（即：m≤2）時，x＝1時，拋物線上的點到x軸距離為最大值，

即：（1﹣m）（1﹣m+4）＝，解得：m＝3或3±2，

∵m≤2，故：m＝3﹣2；

綜上所述，m的值為：2+2或3﹣2或2≤m≤3．