Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2﹣2 ax﹣9a與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點M，N．

（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；
（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；
（3）證明：當直線l繞點D旋轉時， + 均為定值，并求出該定值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C（0，3）．

∴﹣9a=3，解得：a=﹣ ．

令y=0得：ax2﹣2 x﹣9a=0，

∵a≠0，

∴x2﹣2 x﹣9=0，解得：x=﹣ 或x=3 ．

∴點A的坐標為（﹣ ，0），B（3 ，0）．

∴拋物線的對稱軸為x=

（2）

解：∵OA= ，OC=3，

∴tan∠CAO= ，

∴∠CAO=60°．

∵AE為∠BAC的平分線，

∴∠DAO=30°．

∴DO= AO=1．

∴點D的坐標為（0，1）

設點P的坐標為（ ，a）．

依據兩點間的距離公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．

當AD=PA時，4=12+a2，方程無解．

當AD=DP時，4=3+（a﹣1）2，解得a=2或a=0，

∴點P的坐標為（ ，2）或（ ，0）．

當AP=DP時，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4．

∴點P的坐標為（ ，﹣4）．

綜上所述，點P的坐標為（ ，2）或（ ，0）或（ ，﹣4）

（3）

解：設直線AC的解析式為y=mx+3，將點A的坐標代入得：﹣ m+3=0，解得：m= ，

∴直線AC的解析式為y= x+3．

設直線MN的解析式為y=kx+1．

把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=﹣ ，

∴點N的坐標為（﹣ ，0）．

∴AN=﹣ + = ．

將y= x+3與y=kx+1聯立解得：x= ．

∴點M的橫坐標為 ．

過點M作MG⊥x軸，垂足為G．則AG= + ．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，

∴AM=2AG= +2 = ．

∴ + = + = + = = =

【解析】（1）由點C的坐標為（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到關于x的方程，解關于x的方程可得到點A和點B的坐標，最后利用拋物線的對稱性可確定出拋物線的對稱軸；（2）利用特殊銳角三角函數值可求得∠CAO=60°，依據AE為∠BAC的角平分線可求得∠DAO=30°，然后利用特殊銳角三角函數值可求得OD=1，則可得到點D的坐標．設點P的坐標為（ ，a）．依據兩點的距離公式可求得AD、AP、DP的長，然后分為AD=PA、AD=DP、AP=DP三種情況列方程求解即可；（3）設直線MN的解析式為y=kx+1，接下來求得點M和點N的橫坐標，于是可得到AN的長，然后利用特殊銳角三角函數值可求得AM的長，最后將AM和AN的長代入化簡即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解二次函數的性質的相關知識，掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小，以及對特殊角的三角函數值的理解，了解分母口訣：30度、45度、60度的正弦值、余弦值的分母都是2，30度、45度、60度的正切值、余切值的分母都是3，分子口訣：“123，321，三九二十七”．