Question

【題目】我們定義：如圖1，在△ABC看，把AB點繞點A順時針旋轉α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC'，連接B'C'．當α+β=180°時，我們稱△A'B'C'是△ABC的“旋補三角形”，△AB'C'邊B'C'上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”．

（1）在圖2，圖3中，△AB'C'是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”．①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數量關系為AD=BC；
②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，則AD長為 ．
（2）在圖1中，當△ABC為任意三角形時，猜想AD與BC的數量關系，并給予證明．
（3）如圖4，在四邊形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2 ，DA=6．在四邊形內部是否存在點P，使△PDC是△PAB的“旋補三角形”？若存在，給予證明，并求△PAB的“旋補中線”長；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）；4
（2）

解：結論：AD= BC．

理由：如圖1中，延長AD到M，使得AD=DM，連接E′M，C′M

∵B′D=DC′，AD=DM，

∴四邊形AC′MB′是平行四邊形，

∴AC′=B′M=AC，

∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°，

∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′，

∴△BAC≌△AB′M，

∴BC=AM，

∴AD= BC

（3）

解：存在．

理由：如圖4中，延長AD交BC的延長線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN．

連接DF交PC于O．

∵∠ADC=150°，

∴∠MDC=30°，

在Rt△DCM中，∵CD=2 ，∠DCM=90°，∠MDC=30°，

∴CM=2，DM=4，∠M=60°，

在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°，

∴EM= BM=7，

∴DE=EM﹣DM=3，

∵AD=6，

∴AE=DE，∵BE⊥AD，

∴PA=PD，PB=PC，

在Rt△CDF中，∵CD=2 ，CF=6，

∴tan∠CDF= ，

∴∠CDF=60°=∠CPF，

易證△FCP≌△CFD，

∴CD=PF，∵CD∥PF，

∴四邊形CDPF是矩形，

∴∠CDP=90°，

∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°，

∴△ADP是等邊三角形，

∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°，

∴∠BPC=120°，

∴∠APD+∠BPC=180°，

∴△PDC是△PAB的“旋補三角形”，

在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN= ，

∴PN= = =

【解析】解：（1）①如圖2中，

∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=BC=AB=AB′=AC′，
∵DB′=DC′，
∴AD⊥B′C′，
∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=120°，
∴∠B′=∠C′=30°，
∴AD= AB′= BC，
所以答案是 ．
②如圖3中，

∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°，
∴∠B′AC′=∠BAC=90°，
∵AB=AB′，AC=AC′，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴BC=B′C′，
∵B′D=DC′，
∴AD= B′C′= BC=4，
所以答案是4．
【考點精析】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線的相關知識點，需要掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半才能正確解答此題．