Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+c+1交x軸于點A（a，0）和B（b，0），交y軸于點C，拋物線的頂點為D，下列四個命題：

①拋物線的對稱軸是直線x＝1；

②若OC＝OB，則c＝2；

③若M（x0，y0）是x軸上方拋物線上一點，則（x0﹣a）（x0﹣b）＜0；

④拋物線上有兩點P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，則y1＞y2．其中真命題個數是（　　）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

根據二次函數的對稱軸、二次函數圖象上點的坐標特征、二次函數的性質判斷即可．

解：①拋物線的對稱軸是直線x＝﹣＝1，本說法是真命題；

②當x＝0時，y＝c+1，即點C的坐標為（0，c+1），

∴OC＝1，

當OB＝OC＝c+1時，點B的坐標為（c+1，0），

∴0＝﹣（c+1）2+2（c+1）+c+1，

解得，c1＝﹣1（舍去），c2＝2，本說法是真命題；

③拋物線y＝﹣x2+2x+c+1交x軸于點A（a，0）和B（b，0），

∴a+b＝2，ab＝c+1，

∵M（x0，y0）是拋物線x軸上方一點，

∴x02＜2x0+c+1，

∴（x0﹣a）（x0﹣b）＝x02﹣（a+b）x0+ab＜2x0+c+1﹣2x0+c+1＝0，本說法是真命題；

④因為x1＜1＜x2，所以點P和Q在對稱軸兩側，而x1+x2＞2，則點Q比點P離對稱軸的距離要大，所以y1＞y2，本說法是真命題；

故選：D