Question

1．如圖，AB是⊙O的直徑，且AB=10，弦CD⊥AB于點E，G是一動點，連結AD，AG，GD，BC．
（1）若BE=2，求弦CD的長；
（2）若G是$\widehat{AC}$上任意一動點，請找出圖中和∠G相等的角（不在原圖中添加線段或字母），并說明理由；
（3）若G是⊙O及⊙O內的任意一動點，請在圖中畫出使△ADG和△CEB相似的所有點G．

Answer 1

分析 （　　）1）如圖1中，連接AC、BC．根據相交弦定理以及垂徑定理可得，AE•EB=EC•ED，EC²=8×2=16，由此即可解決問題．
（2）結論：∠ADC=∠AGD．因為AB垂直平分CD，推出AC=AD，推出∠ACD=∠ADC，由∠AGC=∠ACD，即可證明．
（3）根據題意以及相似三角形的條件即可畫出點G．

解答 解：（1）如圖1中，連接AC、BC．

∵AB是直接，
∴∠ACB=90°，
∵AB⊥BC，
∴EC=ED，∠AEC=∠CEB=90°，
∵AE•EB=EC•ED，
∴EC²=8×2=16，
∴EC=4，
∴CD=2EC=8．

（2）結論：∠ADC=∠AGD．
理由：∵AB垂直平分CD，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC，
∵∠AGC=∠ACD，
∴∠ADC=∠AGD．

（3）如圖2中，滿足條件的點G有三個，如圖所示．

點評 本題考查圓綜合題、相交弦定理、相似三角形的判定和性質、垂徑定理、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，考慮問題要全面，不能漏解，屬于中考常考題型．