Question

【題目】如圖所示，在等邊三角形ABC中，BC＝8cm，射線AG∥BC，點E從點A出發沿射線AG以lcm/s的速度運動，同時點F從點B出發沿射線BC以2cm/s的速度運動，設運動時間為t（s）

（1）填空：當t為　 　s時，△ABF是直角三角形；

（2）連接EF，當EF經過AC邊的中點D時，四邊形AFCE是否是特殊四邊形？請證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）2或8；（2）四邊形AFCE是平行四邊形，證明見解析；

【解析】

（1）△ABF中，由△ABC是等邊三角形可知∠B=60°≠90°，所以∠BAF與∠AFB可以等于90°，需分類討論．畫出圖形，利用特殊三角函數值求出BF的長，除以點F速度即求得t的值．
（2）由AG∥BC可得∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD，再加上點D為AC中點易證△ADE≌△CDF，進而得DE=DF，根據對角線互相平分的四邊形為平行四邊形可得四邊形AFCE為平行四邊形．再求此時AE、CF的長，說明∠AFC不等于90°和AF≠AE，排除四邊形AFCE是菱形或矩形．

解：（1）∵等邊△ABC中，BC＝8cm

∴∠ABC＝60°≠90°，AB＝BC＝8cm

①如圖1，若∠AFB＝90°，則∠BAF＝30°

∴BF＝AB＝4cm

∴t＝BF÷2＝2（s）

②如圖2，若∠BAF＝90°，則∠AFB＝30°

∴BF＝2AB＝16cm

∴t＝BF÷2＝8（s）

故答案為：2或8．

（2）四邊形AFCE是平行四邊形，證明如下：

如圖3，過點A作AH⊥BC于點H

∵∠ABC＝60°，AB＝8cm

∴sin∠ABC＝，cos∠ABC＝

∴AH＝AB＝4cm，BH＝AB＝4cm

∵AG∥BC

∴∠EAD＝∠FCD，∠AED＝∠CFD

∵點D是AC中點

∴AD＝CD

在△ADE與△CDF中

∴△ADE≌△CDF（AAS）

∴DE＝DF

∴四邊形AFCE是平行四邊形

∴AE＝CF

∵AE＝t，CF＝BC﹣BF＝8﹣2t

∴t＝8﹣2t

解得：t＝

∴AE＝cm，BF＝cm

∴BF＞BH，AF＞AH，∠AFC＞90°

∴AF≠AE

∴四邊形AFCE不是菱形或矩形，四邊形AFCE是平行四邊形．