Question

【題目】矩形OABC的頂點A(－8，0)，C(0，6)，點D是BC邊上的中點，拋物線y＝ax2＋bx經過A，D兩點，如圖所示.

(1)求點D關于y軸的對稱點D′的坐標及a，b的值；

(2)將拋物線y＝ax2＋bx向下平移，記平移后點A的對應點為A1，點D的對應點為D1，當拋物線平移到某個位置時，恰好使得點O是y軸上到A1，D1兩點距離之和OA1＋OD1最短的一點，求平移后的拋物線解析式.

Answer 1

【答案】(1)D′(4,6)，a=，b=-3；(2).

【解析】

(1)首先根據矩形的性質得到點B的坐標，然后得到點D的坐標，從而得到點D′的坐標，然后利用待定系數法求得a、b的值即可；

(2)首先利用待定系數法求得直線A1D1′的解析式，根據點O為使OA1+OD1最短的點求得m的值，從而確定拋物線的解析式．

解：（1）由矩形的性質可得：B(-8,6)

∴D(-4,6)，D點關于軸對稱點D′(4,6)，

將A(-8,0)、D(-4,6)代入得:

，

解得；

（2）設拋物線向下平移了m個單位，則，

∴，

令A1D1′直線為，

∴，

解得，

∵點O為使O+O最短的點，

∴，

∴，

∴.

故答案為：(1)D′(4,6)，a=，b=-3；(2).