Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，點O在AB邊上，以點O為圓心，OB長為半徑的半圓O與AC邊切于點E，與AB邊交于另一點D，如果BD=BC=6，求AC的長．

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：連接OE，先求得△OAE∽△CAB，根據相似三角形對應邊成比例從而求得AE=2AD，然后根據切割線定理即可求得AD的長，進而求得AC的長．

解答：解：連接OE，
∵半圓O與AC邊切于點E，
∴∠AEO=90°，
∴∠AEO=∠B=90°，
∵∠OAE=∠CAB，
∴△OAE∽△CAB，
∴

OA

AC

=

OE

BC

=

1

2

，即

AD+3

AE+6

=

1

2

，
∴AE=2AD，
根據切割線定理得AE²=AD•AB，
∴AD•（AD+6）=4AD²，
解得：AD=2，
∴AE=2AD=4，
∴AC=AD+EC=4+6=10．

點評：本題考查的是切割線定理，切線的性質定理，三角形相似的判定和性質，求得AE=2AD是關鍵．