Question

閱讀材料：
為解方程（x²-1）²-5（x²-1）+4=0，我們可以將x²-1看作一個(gè)整體，然后設(shè)x²-1=y，那么原方程可化為y²-5y+4=0…①，解得y₁=1，y₂=4．當(dāng)y₁=1時(shí)，x²-1=1，∴x²=2，∴x=±

2

；當(dāng)y₂=4時(shí)，x²-1=4，∴x²=5，∴x=±

5

，故原方程的解為x₁=

2

，x₂=-

2

，x₃=

5

，x₄=-

5

．解答問題：
（1）上述解題過程，在由原方程得到方程①的過程中，利用

 

法達(dá)到了解方程的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；
（2）請利用以上知識(shí)解方程：

x+1

x2

-

2x2

x+1

=1．

Answer 1

考點(diǎn)：換元法解一元二次方程,換元法解分式方程

專題：

分析：（1）根據(jù)題目的變形可以看出運(yùn)用了換元法和整體思想在解答這道題，故得出結(jié)論為換元法．
（2）先設(shè)

x+1

x2

=y，原方程可以變?yōu)椋簓-

2

y

=1，再解一道關(guān)于y的分式方程求出y的值，再分別代入

x+1

x2

=y就可以求出x的值．

解答：解：（1）∵將x²-1看作一個(gè)整體，然后設(shè)x²-1=y，實(shí)際上是將x²-1轉(zhuǎn)化為了y，
∴這一步是運(yùn)用了數(shù)學(xué)里的轉(zhuǎn)化思想，這種方法交換元法．
故答案為：換元．

（2）設(shè)

x+1

x2

=y，則原方程變形為：
y-

2

y

=1，
解得：y₁=-1，y₂=2．
當(dāng)y=-1時(shí)，

x+1

x2

=-1，
∴x²+x+1=0，
∵△=1-4=-3＜0，
∴

x+1

x2

=-1無解；
當(dāng)y=2時(shí)，

x+1

x2

=2，
∴2x²-x-1=0，
∴x₁=-

1

2

，x₂=1
經(jīng)檢驗(yàn)，x₁=-

1

2

，x₂=1是原方程的解．

點(diǎn)評：本題主要考查用換元法解分式方程，關(guān)鍵是先進(jìn)行適當(dāng)換元再利用反代法求解．