Question

【題目】如圖，正方形ABCD內接于⊙O，圓心O是正方形的對稱中心，⊙O的面積為S1，正方形的面積為S2，則以圓心O為頂點，作∠MON=90°，將∠MON繞O點旋轉，OM、ON分別與⊙O交于E、F，分別于正方形ABCD交于G、H，設由OE、OF、EF及正方形ABCD的邊圍成的圖形（陰影部分）的面積為S，那么：

（1）如圖①，當OM經過點A時，S、S1、S2之間的關系（用S1、S2的代數式表示S）為　 　；

（2）如圖②，當OM⊥AB交于點G時，①中的結論還成立嗎？并說明理由；

（3）如圖③，∠MON旋轉到任意位置時，則①中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）成立；（3）成立.

【解析】

（1）如圖①，利用正方形的性質得到∠AOB=90°，則可判斷OM經過點A時，ON經過點B，根據扇形的面積公式，利用S=S扇形EOF﹣S△AOB得到S=（S1﹣S2）；

（2）如圖②，先證明ON⊥BC，利用S=S扇形EOF﹣S矩形OGBH得到S=（S1﹣S2），從而判斷（1）的結論成立；

（3）如圖③，連接OB、OA，先證明∠AOE=∠BOH，則判斷△AOG≌△BOH，從而得到S△AOG=S△BOH，所以S四邊形OGBH=S△AOB，然后利用S=S扇形EOF﹣S四邊形OGBH=S扇形EOF﹣S△AOB得到S=（S1﹣S2），于是可判斷（1）中的結論成立．

（1）如圖①．

∵正方形ABCD內接于⊙O，圓心O是正方形的對稱中心，∴∠AOB=90°．

∵∠MON=90°，∴OM經過點A時，ON經過點B，∴S=S扇形EOF﹣S△AOB=S1﹣S2=（S1﹣S2）．

故答案為：（S1﹣S2）；

（2）成立．理由如下：

如圖②，當OM⊥AB交于點G時．

∵∠ABC=90°，∠GOH=90°，∴∠OHB=90°，∴ON⊥BC，∴S=S扇形EOF﹣S矩形OGBH=S1﹣S2=（S1﹣S2）；

（3）成立．理由如下：

如圖③，連接OB、OA．

∵四邊形ABCD為正方形，∴OA=OB，∠OAB=∠OBC=45°．

∵∠AOB=90°，∠EOF=90°，∴∠AOE=∠BOH．在△AOG和△BOH中，∵

，∴△AOG≌△BOH，∴S△AOG=S△BOH，∴S四邊形OGBH=S△AOB，∴S=S扇形EOF﹣S四邊形OGBH=S扇形EOF﹣S△AOB=S1﹣S2=（S1﹣S2）．