Question

【題目】如圖，P 是等邊三角形 ABC 內的一點，連接 PA、PB、PC，以 BP 為邊作∠PBQ＝60°，且 BQ＝BP，連接 CQ．

（1）觀察并猜想 AP 與 CQ 之間的大小關系，并說明理由．

（2）若 PA＝3，PB＝4，PC＝5，∠BQC＝ ．（請直接寫出∠BQC 的度數）

Answer 1

【答案】（1）AP=CQ，理由見解析；（2）150°

【解析】

（1）根據“SAS”證明△ABP≌△CBQ，可得AP=CQ；

（2）連接PQ．證明△PBQ為等邊三角形，得∠PQB=60°；根據三邊長度可證△PQC為直角三角形，得∠PQC=90°．

解：（1）AP=CQ，理由如下：

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=60°．

∵∠PBQ=60°，

∴∠ABP=∠CBQ=60°-∠PBC．

在△ABP和△CBQ中，

，

∴△ABP≌△CBQ，

∴AP=CQ；

（2）連接PQ．

∵BP=BQ，∠PBQ=60°，

∴△PBQ是等邊三角形，

∴∠PQB=60°，PQ=PB=4．

又∵CQ=PA=3，PC=5，52=32+42，即PC2=PQ2+CQ2，

∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°，

∴∠BQC=60°+90°=150°．