Question

【題目】如圖，已知直線y＝x+4交x軸于點A，交y軸于點B，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A、B．

（1）求拋物線解析式；

（2）點C（m，0）是x軸上異于A、O點的一點，過點C作x軸的垂線交AB于點D，交拋物線于點E．

①當點E在直線AB上方的拋物線上時，連接AE、BE，求S△ABE的最大值；

②當DE＝AD時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①S△ABE最大值為8；②m＝.

【解析】

（1）直線y＝x+4交x軸于點A，交y軸于點B，則點A、B的坐標分別為：（﹣4，0）、（0，4），可得c值，把A點坐標代入y＝﹣x2+bx+c求出b的值，即可得答案；（2）①S△ABE＝×ED×OA＝2ED＝﹣2m2﹣8m，即可求解；②根據A、B坐標可得∠BAO=45°，即可得出AD＝AC＝|（m+4）|，根據AD=DE列方程求出m的值即可．

（1）∵直線y＝x+4交x軸于點A，交y軸于點B，

∴當x=0時，y=4，當y=0時，x=-4，

∴點A（-4，0）、點B（0，4），

∴c＝4，

將點A的坐標代入拋物線表達式并解得：-(-4)2-4x+4=0，

解得：b＝﹣3，

故拋物線的表達式為：y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）如圖，連接EA、EB，

①∵C（m，0），CE⊥x軸，D、E分別在AB和拋物線上，

∴點E、D的坐標分別為：（m，﹣m2﹣3m+4）、（m，m+4），

∵點E在直線AB上方的拋物線上，

∴DE＝（﹣m2﹣3m+4）﹣（m+4）＝﹣m2﹣4m，

∴S△ABE＝×ED×OA＝2ED＝﹣2m2﹣8m=-2(m+2)2+8，

∵﹣2＜0，

∴當m=-2時，S△ABE有最大值8.

②∵OA=OB=4，∠AOB=90°，

∴∠BAO=45°，

∵∠ACE=90°，

∴AD＝AC＝|m+4|，

∵AD=DE，

∴

解得：m=或m=-4，

∵m=-4時，點C與點A重合，不符合題意，

∴m=.