Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于點D．點P從點D 出發，沿線段DC向點C運動，點Q從點C出發，沿線段CA向點A運動，兩點同時出發，速度都為每秒1個單位長度，當點P運動到C時，兩點都停止．設運動時間為t秒．

（1）求線段CD的長；

（2）當t為何值時，△CPQ是直角三角形？

（3）是否存在某一時刻，使得PQ分△ACD的面積為1：11？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）CD=；（2）t為3秒或秒；（3）當，時使得PQ分△ACD的面積為1：11．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB＝10，進利用面積法求出CD；

（2）先表示出CP，再判斷出∠ACD＝∠B，進而分兩種情況，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出結論；

（3）先判斷出△CEQ∽△CDA，得出，進而表示出QE＝t，再分當S△CPQ＝S△ACD時，和當S△CPD＝S△ACD時，利用面積建立方程求解即可得出結論．

（1）在Rt△ABC中，根據勾股定理得，AB＝

∵S△ABC＝ACBC＝ABCD，

∴CD＝，

（2）由（1）知，CD＝，

由運動知，CQ＝t，DP＝t，

∴CP＝CDDP＝t，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＋∠BCD＝90°，

∵CD⊥AB，

∴∠B＋∠BCD＝90°，

∴∠ACD＝∠B，

∵△CPQ與△ABC相似，

①當∠CPQ＝90°時，△CPQ∽△BCA，

∴，

∴

∴t＝3

②當∠CQP＝90°時，△CPQ∽△BAC，

∴，

∴

∴t＝，

即：t為3秒或秒時，△CPQ與△ABC相似．

（3）假設存在，如圖，

Rt△ACD中，根據勾股定理得，AD＝，

過點Q作CE⊥CD于E，

∴QE∥AD，

∴△CEQ∽△CDA，

∴，

∴

∴QE＝

∵S△CPQ＝CPQE＝（）

∴S△ACD＝ADCD＝××，

∵PQ分△ACD的面積為1：11，

∴①當S△CPQ＝S△ACD時，

∴（t）＝×××，

∴5t224t＋16＝0，

∴＝或4．

②當S△CPD＝S△ACD時，

∴（t）＝×××，

∴5t224t＋176＝0，而△2424×5×176＝5763520＜0，

此方程無解，即：此種情況不存在，

綜上所述，當t＝或4時，PQ分△ACD的面積為1：11．