Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC.

(1)如圖1，通過(guò)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD＝_____，∠DAE＝_____度.

（解決問(wèn)題）

(2)如圖1，證明BC＝DC+EC；

（拓展延伸）

如圖2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠ADC＝45°，仍將線(xiàn)段AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到AE，連接EC，ED.

(3)若AD＝6，CD＝3，求BD的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1)AE，90；(2)證明見(jiàn)解析；(3)BD=9.

【解析】

(1)利用旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；(2)證明△ABD≌△ACE(SAS)，推出BD＝CE，可得結(jié)論；(3)如圖2中，連BD.證明△ABD≌△ACE(SAS)，推出BD＝CE，再證明△ECD是直角三角形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題.

解：

(1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AD＝AE，∠DAE＝90°.

故答案為AE，90.

(2)如圖1中，

∵∠DAE＝∠BAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD＝CE，

∴BC＝BD+DC＝EC+CD.

(3)如圖2中，連BD.

∵∠BAC＝∠DAE，

∴BAD＝∠CAE，

又∵AB＝AC，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE(SAS)，

∴BD＝CE，

而∠ADE＝∠ADC＝45°，

∴△ECD為直角三角形，

∴EC2＝CD2+ED2＝CD2+2AD2＝81，

∴EC＝9，即：BD的長(zhǎng)為9.