Question

【題目】如圖，已知二次函數y＝x2﹣4的圖象與x軸交于點A、B（點A位于點B的左側），C為頂點．一次函數y＝mx+2的圖象經過點A，與y軸交于點D．

（1）求直線AD的函數表達式；

（2）平移該拋物線得到一條新拋物線，設新拋物線的頂點為C′．若新拋物線的頂點和原拋物線的頂點的連線CC′平行于直線AD，且當1≤x≤3時，新拋物線對應的函數值有最小值為﹣1，求新拋物線對應的函數表達式；

（3）如圖，連接AC、BC，在坐標平面內，直接寫出使得△ACD與△EBC相似（其中點A與點E是對應點）的點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x+2；（2）y＝（x+1）2﹣5或y＝（x﹣3）2﹣1；（3）點E坐標為：（﹣，﹣2）或（2，﹣）或（0，﹣）或（，﹣2）．

【解析】

（1）令二次函數y＝x2﹣4=0，求出點A,B的坐標，把點A的坐標代入一次函數y＝mx+2，即可求出直線AD的函數表達式；

（2）求出頂點C的坐標，根據CC'∥AD，求出CC'解析式，設C'（t，t﹣4），則新拋物線對應的函數表達式為：，分，1≤t≤3，三種情況進行討論.

（3）分△ACD∽△EBC和△ACD∽△ECB兩種情況進行討論.

解：（1）當y＝0時，0＝x2﹣4，

∴x1＝2，x2＝﹣2，

∴A（﹣2，0），B（2，0）

∵直線AD過點A，

∴0＝﹣2m+2，

∴m＝1

∴直線AD的函數表達式為：y＝x+2

（2）當x＝0時，y＝0﹣4＝﹣4

∴C（0，﹣4）

∵CC'∥AD

∴CC'解析式為：y＝x﹣4

∴設C'（t，t﹣4），則新拋物線對應的函數表達式為：y＝（x﹣t）2+t﹣4

①當t＜1時，1≤x≤3對應的新拋物線部分位于對稱軸右側，且y隨x的增大而增大，

∴當x＝1時，y最小＝（1﹣t）2+t﹣4＝﹣1

∴t1＝2（舍去），t2＝﹣1

∴y＝（x+1）2﹣5

②當1≤t≤3時，

∴x＝t時，y最小＝t﹣4＝﹣1

∴t＝3

∴y＝（x﹣3）2﹣1

③當t＞3時，1≤x≤3對應的新拋物線部分位于對稱軸左側，且y隨x的增大而減小

∴x＝3時，y最小＝（3﹣t）2+t﹣4＝﹣1

∴t1＝2（舍去），t2＝3（舍去）

綜上所述：新拋物線對應的函數表達式為y＝（x+1）2﹣5或y＝（x﹣3）2﹣1

（3）△ACD與△EBC相似

∵點A（﹣2，0），點D（0，2），點C（0，﹣4），點B（2，0）

∴,

設點E坐標為（x，y）,

若△ACD∽△EBC

∴

∴

∴

∴（x﹣2）2+（y﹣0）2＝

（x﹣0）2+（y+4）2＝

∴解得：

∴點E坐標 或

若△ACD∽△ECB

∴

∴

∴

∴x2+（y+4）2＝（x﹣2）2+y2＝

解得：

∴點E坐標或

綜上所述：點E坐標為： 或或或