Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝BC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，交AC于點F，過點C作CE∥AB，與過點A的切線相交于點E，連接AD．

（1）求證：AD＝AE．

（2）若AB＝10，sin∠DAC＝求AD的長．

Answer 1

【答案】（1）AD＝AE，見解析；（2）AD＝8，見解析.

【解析】

（1）由切線的性質和圓周角定理得出∠BAE=90°，∠ADB=∠ADC=90°，由平行線的性質得出∠E=∠ADB，證出∠BCA=∠ACE，證明△ADC≌△AEC，即可得出結論；
（2）連接BF，由圓周角定理得出∠CBF=∠DAC，∠AFB=90°，得出∠CFB=90°，由三角函數求出，由等腰三角形的性質得出AC=2CF=4，在Rt△ACD中，由三角函數求出，再由勾股定理即可得出結果．

解：（1）證明：∵AE與⊙O相切，AB是⊙O的直徑

∴∠BAE＝90°，∠ADB＝90°，

∴∠ADC＝90°，

∵CE∥AB，

∴∠BAE+∠E＝180°，

∴∠E＝90°，

∴∠E＝∠ADB，

∵在△ABC中，AB＝BC，

∴∠BAC＝∠BCA，

∵∠BAC+∠EAC＝90°，∠ACE+∠EAC＝90°，

∴∠BAC＝∠ACE，

∴∠BCA＝∠ACE，

在△ADC和△AEC中，，

∴△ADC≌△AEC（AAS），

∴AD＝AE；

（2）連接BF，如圖所示：

∵∠CBF＝∠DAC，∠AFB＝90°，

∴∠CFB＝90°，sin∠CBF＝＝sin∠DAC＝，

∵AB＝BC＝10，

∴CF＝2，

∵BF⊥AC，

∴AC＝2CF＝4，

在Rt△ACD中，sin∠DAC＝＝，

∴CD＝×4＝4，

∴AD＝＝＝8．