Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，P為CD邊上一點（DP＜CP），∠APB=90°．將△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延長線交邊AB于點M，過點B作BN∥MP交DC于點N．

（1）求證：AD2=DPPC；

（2）請判斷四邊形PMBN的形狀，并說明理由；

（3）如圖2，連接AC，分別交PM，PB于點E，F．若=，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形PMBN是菱形，理由見解析；（3）

【解析】（1）過點P作PG⊥AB于點G，易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易證△APG∽△PBG，所以PG2=AGGB，即AD2=DPPC；

（2）DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由題意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，從而可知PM=MB=AM，又易證四邊形PMBN是平行四邊形，所以四邊形PMBN是菱形；

（3）由于，可設DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，從而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由于CP∥AB，從而可證△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，從而可得，，從而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC，從而可得．

（1）過點P作PG⊥AB于點G，

∴易知四邊形DPGA，四邊形PCBG是矩形，

∴AD=PG，DP=AG，GB=PC

∵∠APB=90°，

∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，

∴∠APG=∠PBG，

∴△APG∽△PBG，

∴，

∴PG2=AGGB，

即AD2=DPPC；

（2）∵DP∥AB，

∴∠DPA=∠PAM，

由題意可知：∠DPA=∠APM，

∴∠PAM=∠APM，

∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，

即∠ABP=∠MPB

∴AM=PM，PM=MB，

∴PM=MB，

又易證四邊形PMBN是平行四邊形，

∴四邊形PMBN是菱形；

（3）由于，

可設DP=k，AD=2k，

由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，

∵PG2=AGGB，

∴4k2=kGB，

∴GB=PC=4k，

AB=AG+GB=5k，

∵CP∥AB，

∴△PCF∽△BAF，

∴，

∴，

又易證：△PCE∽△MAE，AM=AB=,

∴

∴，

∴EF=AF-AE=AC-AC=AC，

∴.