Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點E在AD邊上運動，且不與點A和點D重合，連結CE，過點C作CF⊥CE交AB的延長線于點F，EF交BC于點G．

（1）求證：△CDE≌△CBF；
（2）當DE= 時，求CG的長；
（3）連結AG，在點E運動過程中，四邊形CEAG能否為平行四邊形？若能，求出此時DE的長；若不能，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖，在正方形ABCD中，DC=BC，∠D=∠ABC=∠DCB=90°，

∴∠CBF=180°﹣∠ABC=90°，∠1+∠2=∠DCB=90°，

∵CF⊥CE，

∴∠ECF=90°，

∴∠3+∠2=∠ECF=90°，

∴∠1=∠3，

在△CDE和△CBF中， ，

∴△CDE≌△CBF

（2）

解：在正方形ABCD中，AD∥BC，

∴△GBF∽△EAF，

∴ ，

由（1）知，△CDE≌△CBF，

∴BF=DE= ，

∵正方形的邊長為1，

∴AF=AB+BF= ，AE=AD﹣DE= ，

∴ ，

∴BG= ，

∴CG=BC﹣BG=

（3）

解：不能，

理由：若四邊形CEAG是平行四邊形，則必須滿足AE∥CG，AE=CG，

∴AD﹣AE=BC﹣CG，

∴DE=BG，

由（1）知，△CDE≌△ECF，

∴DE=BF，CE=CF，

∴△GBF和△ECF是等腰直角三角形，

∴∠GFB=45°，∠CFE=45°，

∴∠CFA=∠GFB+∠CFE=90°，

此時點F與點B重合，點D與點E重合，與題目條件不符，

∴點E在運動過程中，四邊形CEAG不能是平行四邊形．

【解析】（1）先判斷出∠CBF=90°，進而判斷出∠1=∠3，即可得出結論；（2）先求出AF，AE，再判斷出△GBF∽△EAF，可求出BG，即可得出結論；（3）假設是平行四邊形，先判斷出DE=BG，進而判斷出△GBF和△ECF是等腰直角三角形，即可得出∠GFB=∠CFE=45°，即可得出結論．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質和正方形的性質的相關知識點，需要掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．