Question

【題目】已知AB為⊙O的直徑，BC⊥AB于B，且BC=AB，D為半圓⊙O上的一點，連接BD并延長交半圓⊙O的切線AE于E．
（1）如圖1，若CD=CB，求證：CD是⊙O的切線；

（2）如圖2，若F點在OB上，且CD⊥DF，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接DO，CO，

∵BC⊥AB于B，

∴∠ABC=90°，

在△CDO與△CBO中， ，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CDO=∠CBO=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切線

（2）

解：連接AD，

∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，

∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，

∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，

∵在△ADF和△BDC中， ，

∴△ADF∽△BDC，

∴ = ，

∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，

∴∠E=∠DAB，

∵在△ADE和△BDA中， ，

∴△ADE∽△BDA，

∴ = ，

∴ = ，即 = ，

∵AB=BC，

∴ =1

【解析】（1）連接DO，CO，易證△CDO≌△CBO，即可解題；（2）連接AD，易證△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根據相似三角形對應邊比例相等的性質即可解題．
【考點精析】本題主要考查了垂徑定理和相似三角形的判定與性質的相關知識點，需要掌握垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．