Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交AC邊于點D，過點C作CF∥AB，與過點B的切線交于點F，連接BD．
（1）求證：BD=BF；
（2）若AB=10，CD=4，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠BDA=90°，

∴BD⊥AC，∠BDC=90°，

∵BF切⊙O于B，

∴AB⊥BF，

∵CF∥AB，

∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，

∵AB=AC，

∴∠ACB=∠ABC，

∴∠ACB=∠FCB，

∵BD⊥AC，BF⊥CF，

∴BD=BF

（2）解：∵AB=10，AB=AC，

∴AC=10，

∵CD=4，

∴AD=10﹣4=6，

在Rt△ADB中，由勾股定理得：BD= =8，

在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC= =4

【解析】（1）根據圓周角定理求出BD⊥AC，∠BDC=90°，根據切線的性質得出AB⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根據角平分線性質得出即可；（2）求出AC=10，AD=6，根據勾股定理求出BD，再根據勾股定理求出BC即可．
【考點精析】本題主要考查了等腰三角形的性質和切線的性質定理的相關知識點，需要掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角）；切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑才能正確解答此題．