Question

【題目】已知：如圖1，矩形OABC的兩個頂點A，C分別在x軸，y軸上，點B的坐標是（8，2），點P是邊BC上的一個動點，連接AP，以AP為一邊朝點B方向作正方形PADE，連接OP并延長與DE交于點M，設CP＝a（a＞0）．

（1）請用含a的代數式表示點P，E的坐標．

（2）連接OE，并把OE繞點E逆時針方向旋轉90°得EF．如圖2，若點F恰好落在x軸的正半軸上，求a與的值．

（3）①如圖1，當點M為DE的中點時，求a的值．

②在①的前提下，并且當a＞4時，OP的延長線上存在點Q，使得EQ+PQ有最小值，請直接寫出EQ+PQ的最小值．

Answer 1

【答案】（1）P（a，2）；E（a+2，10﹣a）；（2）a＝4，＝3；（3）①a＝2或6；②.

【解析】

（1）如圖1中，作于N只要證明，即可解決問題；

（2）利用等腰直角三角形的性質，根據點E的坐標構建方程求出a，再構建一次函數求出點M坐標，即可解決問題；

（3）①求出點M坐標，根據＝，構建方程即可；

②如圖4中，將繞點P順時針旋轉得到，則是等腰直角三角形．可得的中點，，作，則，推出，可得當E、Q、R共線時，的值最小，求出點R坐標即可解決問題；

解：（1）如圖1中，作于N．

∵B，

∴BC＝8，，∵，

∴

∵四邊形OABC是矩形，四邊形ADEP是正方形，

∴，，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴．

（2）如圖2中，

由題意：△EOF是等腰直角三角形，

∴，

∵，

∴，

∴a＝4，,

∴直線OP的解析式為，直線DE的解析式為，

由 ，解得，

∴，

∴，

∴．

（3）①如圖3中，作于K．

由，可得，，

∴EK＝1，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

整理得：，

解得或6．

②如圖4中，將繞點P順時針旋轉得到，則是等腰直角三角形．

由題意a＝6，，

∴的中點，

∵，

∴，作，則，

∴，

∴當E、Q、R共線時，的值最小，

∵直線PR的解析式為，

∵，

∴直線ER的解析式為，

由 ，解得，

∴，

∴，

∴的最小值為．