Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A(-1，0)，B(3，0)兩點(diǎn)。

（1）求b、c的值；

（2）P為拋物線上的點(diǎn)，且滿足S△PAB=8，求P點(diǎn)的坐標(biāo)

（3）設(shè)拋物線交y軸于C點(diǎn)，在該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最小?若存在，求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

【答案】（1）b=-2，c=-3；（2）符合x的值為點(diǎn)P有三個(gè)；（3）Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2）

【解析】

（1）拋物線y=x2+bx+c與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A（-1，0），B（3，0），把它們分別代入得到二元一次方程組，解這個(gè)方程組求得b，c值；

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)S△PAB=8，列出方程求得y值，分別代入從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）由AC長(zhǎng)為定值，要使△QAC的周長(zhǎng)最小，只需QA+QC最小．由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)，再求得BC的直線解析式，從而求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

（1）根據(jù)題意可得，1-b+c=0；9+3b+c=0

∴b=-2，c=-3

∴拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.

（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y）

根據(jù)題意可知，S△PAB=×4|y|=8，∴|y|=4，∴y=±4

當(dāng)y=4時(shí)，x2-2x-3=4，∴x=或x=-+1

當(dāng)y=-4時(shí)，x2-2x-3=-4，∴x=1

∴當(dāng)P點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(，4)、(-+1，4)、（1，-4）時(shí)，

S△PAB=8；

（3）在拋物線y=x2-2x-3的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q，使得△QAC的周長(zhǎng)最�。�
∵AC長(zhǎng)為定值，
∴要使△QAC的周長(zhǎng)最小，只需QA+QC最�。�
∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=1的對(duì)稱點(diǎn)是B（3，0），
∴由幾何知識(shí)可知，Q是直線BC與對(duì)稱軸x=1的交點(diǎn)，
拋物線y=x2-2x-3與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-3），設(shè)直線BC的解析式為y=kx-3．
∵直線BC過點(diǎn)B（3，0），
∴3k-3=0，
∴k=1．
∴直線BC的解析式為y=x-3，
∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-2．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，-2）．