Question

如圖所示，在△ABC中，AC=BC=4，∠C=90°，O是AB的中點，⊙O與AC、BC分別相切于點D、E，⊙O與AB相交于點F，連接DF并延長交CB的延長線于點G．
（1）求證：∠BFG=∠BGF；
（2）求由DG、GE和弧ED所圍成圖形的面積．（陰影部分）

Answer 1

考點：切線的性質,扇形面積的計算

專題：

分析：（1）連接OD．根據切線的性質得到OD⊥AC，則OD∥BC；可得∠ODF=∠G，再結合對頂角相等和等邊對等角得到∠BFG=∠BGF．
（2）陰影部分的面積=直角三角形CDG的面積-（正方形的面積-扇形ODE的面積）．根據等腰直角三角形的性質可求出有關邊AB、OD的長，以及圓心角∠DOE的度數．進而可根據扇形的面積和直角三角形的面積求得陰影部分的面積．

解答：解：（1）∵OD=OF（⊙O的半徑），
∴∠ODF=∠OFD；
∵⊙O與AC相切于點D，
∴OD⊥AC；
又∵∠C=90°，即GC⊥AC，
∴OD∥GC，
∴∠BGF=∠ODF；
又∵∠BFG=∠OFD，
∴∠BFG=∠BGF．

（2）連OE，
∵⊙O與AC相切于點D、與BC相切于點E，
∴DC=CE，OD⊥AC，OE⊥BC，
∵∠C=90°，
∴四邊形ODCE為正方形，
∵AO=BO=

1

2

AB=

1

2

AC2+BC2

=2

2

，
∴OD=

1

2

BC=

1

2

×4=2，
∵∠BFG=∠BGF，
∴BG=BF=OB-OF=2

2

-2；
從而CG=CB+BG=2

2

+2；
∴S_陰影=S_△DCG-（S_{正方形ODCE}-S_扇形ODE）
=

1

2

×2×（2+2

2

）-（2²-

1

4

π×2²）
=π-2+2

2

．

點評：此題綜合考查了切線的性質、平行線的性質、等腰直角三角形的性質及扇形的面積計算方法．