Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為圓內接四邊形，對角線AC、BD交于點E，延長DA、CB交于點F．

（1）求證：△FBD∽△FAC；

（2）如果BD平分∠ADC，BD＝5，BC＝2，求DE的長；

（3）如果∠CAD＝60°，DC＝DE，求證：AE＝AF．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）可得出∠ADB=∠ACB，∠AFC=∠BFD，則結論得證；

（2）證明△BEC∽△BCD，可得，可求出BE長，則DE可求出；

（3）根據圓內接四邊形的性質和三角形的內角和定理進行證明AB=AF；根據等腰三角形的判定與性質和圓周角定理可證明AE=AB，則結論得出．

（1）證明：∵∠ADB＝∠ACB，∠AFC＝∠BFD，

∴△FBD∽△FAC；

（2）解：∵BD平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠BDC，

∵∠ADB＝∠ACB，

∴∠ACB＝∠BDC，

∵∠EBC＝∠CBD，

∴△BEC∽△BCD，

∴，

∴，

∴BE＝，

∴DE＝BD﹣BE＝5﹣＝；

（3）證明：∵∠CAD＝60°，

∴∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD，

∵DC＝DE，

∴∠ACD=∠DEC，

∵∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠ABF=180°，

∴∠FBD=180°，

∴∠ABF＝∠ADC=120°

＝120°﹣∠ACD

＝120°﹣∠DEC

＝120°﹣（60°+∠ADE）

＝60°﹣∠ADE，

而∠F＝60°﹣∠ACF，

∵∠ACF＝∠ADE，

∴∠ABF＝∠F，

∴AB＝AF．

∵四邊形ABCD內接于圓，

∴∠ABD＝∠ACD，

又∵DE＝DC，

∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，

∴∠ABD＝∠AEB，

∴AB＝AE．

∴AE＝AF．