Question

【題目】（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1，在中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為一邊作正方形，點(diǎn)恰好與點(diǎn)重合，則線段與的數(shù)量關(guān)系為______________；

（2）拓展探究

在（1）的條件下，如果正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，連接，線段與的數(shù)量關(guān)系有無變化?請僅就圖2的情形進(jìn)行說明；

（3）問題解決．

當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到三點(diǎn)共線時(shí)，直接寫出線段的長．

Answer 1

【答案】（1）；（2）無變化，說明見詳解；（3）或

【解析】

(1)先利用等腰直角三角形的性質(zhì)得出AB=AD，再得出AD=AF，即可得出結(jié)論；
(2)先利用等腰直角三角形和正方形的性質(zhì)得：，并證明夾角相等即可得出△ACF∽△BCE，進(jìn)而得出結(jié)論；

（3）分當(dāng)點(diǎn)E在線段BF上時(shí)和當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長線上時(shí)討論即可求得線段的長．

解：(1)在Rt△ABC中，AB=AC，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴AD=BC=BD，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD，
∵正方形CDEF，
∴DE=EF，
當(dāng)點(diǎn)E恰好與點(diǎn)A重合，
∴AB=AD=AF，即BE=AF，
故答案為：BE=AF；

(2)無變化；

如圖2，在中，

∴，∴

在正方形中，

在中，

∴

∵

∴

在和中

∴∽

∴

∴線段和的數(shù)量關(guān)系無變化．

(3) 或.

當(dāng)點(diǎn)E在線段BF上時(shí),

如圖2，

∵正方形，由（1）知AB=AD=AF，

∴CF=EF=CD=2,

在Rt△BCF中，CF=2,BC=4,

根據(jù)勾股定理得，BF=,

∴BE=BF-EF=-2,

由（2）得，，

∴AF=;

當(dāng)點(diǎn)E在線段BF的延長線上時(shí)，如圖，

同理可得，BF=,

BE=BF+EF=+2,

∴AF=,

綜上所述，當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到三點(diǎn)共線時(shí)，線段的長為或．