Question

【題目】已知，如圖，拋物線y＝ax2+3ax+c（a＞0）與y軸交于點C，與x軸交于A，B兩點，點A在點B左側．點B的坐標為（1，0），OC＝3OB,

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）四邊形ABCD面積有最大值．

【解析】

（1）已知B點坐標，易求得OB、OC的長，進而可將B、C的坐標代入拋物線中，求出待定系數的值，即可得出拋物線的解析式．
（2）根據A、C的坐標，易求得直線AC的解析式．由于AB、OC都是定值，則△ABC的面積不變，若四邊形ABCD面積最大，則△ADC的面積最大；可過D作x軸的垂線，交AC于M，x軸于N；易得△ADC的面積是DM與OA積的一半，可設出N點的坐標，分別代入直線AC和拋物線的解析式中，即可求出DM的長，進而可得出四邊形ABCD的面積與N點橫坐標間的函數關系式，根據所得函數的性質即可求出四邊形ABCD的最大面積．

（1）∵B（1，0），

∴OB＝1；

∵OC＝3BO，

∴C（0，﹣3）；

∵y＝ax2+3ax+c過B（1，0）、C（0，﹣3），

∴；

解這個方程組，得，

∴拋物線的解析式為：y＝x2+x﹣3；

（2）過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N

在y＝x2+x﹣3中，令y＝0，

得方程x2+x﹣3＝0解這個方程，得x1＝﹣4，x2＝1

∴A（﹣4，0）

設直線AC的解析式為y＝kx+b

∴，

解這個方程組，得，

∴AC的解析式為：y＝﹣x﹣3，

∵S四邊形ABCD＝S△ABC+S△ADC

＝+DM（AN+ON）

＝+2DM

設D（x，x2+x﹣3），M（x，﹣x﹣3），

DM＝﹣x﹣3﹣（x2+x﹣3）＝﹣（x+2）2+3，

當x＝﹣2時，DM有最大值3

此時四邊形ABCD面積有最大值=+2×3=．