Question

【題目】已知將一副三角板(直角三角板ABC和直角三角板CDE，∠ACB＝90°，∠ECD＝60°)如圖1擺放，點D、A、C在一條直線上，將直角三角板CDE繞點C逆時針方向轉動，變化擺放如圖位置.

(1) 如圖2，當∠ACD為多少度時，CB恰好平分∠ECD？

(2) 如圖3，當三角板CDE擺放在∠ACB內部時，作射線CF平分∠ACE，射線CG平分∠BCD，如果三角形CDE在∠ACB內繞點C任意轉動，∠FCG的度數是否發生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由.

(3) 如圖4，當三角板CDE轉到∠ACB外部時，射線CF、CG仍然分別平分∠ACE、∠BCD，在旋轉過程中，(2)中的結論是否成立？如果結論成立，請說明理由；如果不成立，請寫出你的結論并根據圖4說明理由.

Answer 1

【答案】(1)∠ACD＝60°；(2)不變，∠FCG＝15°；(3)不成立，∠FCG＝165°．

【解析】

（1）由圖2可得角之間的關系：∠ACD=∠ACB-∠BCD，所以利用角平分線的定義求出∠BCD的度數即可；

（2）先根據角的和與差得：∠ACD+∠BCE=90°-60°=30°，由圖3可得角之間的關系：∠FCG=∠BCF-∠BCG=∠FCE+∠BCE-∠BCG，于是得到結論；

（3）結論：在旋轉的過程中，（2）中的結論不成立，同理根據（2）可得結論．

解：（1）在圖2中，∵CB平分∠DCE，

∴∠BCD=∠DCE=×60°=30°，

∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=90°-30°=60°；

（2）∠FCG不變，∠FCG=15°，

理由是：如圖3，

∵∠ACB=90°，∠DCE=60°，

∴∠ACD+∠BCE=90°-60°=30°，

∵射線CF平分∠ACE，射線CG平分∠BCD，

∴∠FCE=∠ACE=(90°∠BCE)=45°-∠BCE，

∠BCG=∠BCD=(90°∠ACD)=45°-∠ACD，

∴∠FCG=∠BCF-∠BCG=∠FCE+∠BCE-∠BCG=45°-∠BCE+∠BCE-45°+∠ACD=(∠BCE+∠ACD)=15°；

（3）結論：在旋轉的過程中，（2）中的結論不成立．

理由：∵∠ACB=90°，∠DCE=60°，

∴∠ACE+∠BCD=360°-90°-60°=210°，

∵射線CF平分∠ACE，射線CG平分∠BCD，

∴∠FCE=∠ACE，∠DCG=∠BCD，

∴∠FCE+∠DCG=×210°=105°，

∴∠FCG=∠FCE+∠DCE+∠DCG=105°+60°=165°．