Question

【題目】如圖，已知在矩形ABCD中，AD=10cm，AB=4cm，動點P從點A出發，以2cm/s的速度沿AD向終點D移動，設移動時間為(s) ．連接PC，以PC為一邊作正方形PCEF，連接DE、DF．

（1）求正方形PCEF的面積（用含的代數式來表示，不要求化簡），并求當正方形PCEF的面積為25 cm2時的值；

（2）設△DEF的面積為(cm2)，求與之間的函數關系式，并求當為何值時？△DEF的面積取得最小值，這個最小值是多少？

（3）求當為何值時？△DEF為等腰三角形．

Answer 1

【答案】（1）當=3.5s時，正方形PCEF的面積為25cm2；（2）當s時，取得最小值為6；（3）當s，3 s或4 s時，△DEF為等腰三角形．

【解析】

（1）依題意可得：AP=2，PD=10-2，CD=AB=4，解Rt△PDC，PC2= (10-2)2+16，則正方形PCEF的面積為(10-2)2+16，當 (10-2)2+16=25，解方程即可得出結果；

（2）過點F作FM⊥AD于點M，過點E作EN⊥BC的延長線于點N，△PCD≌△FPM，FM=PD=10-2，PM=CD=4， △PCD≌△ECN，EN=PD=10-2，CN=CD=4， 根據圖形面積關系可得S△DEF= S正方形PCEF- S△PDF- S△PDC- S△DCE，得到S關于t的函數式，即可求得.

（3）當△DEF為等腰三角形時，分四種情況進行討論，根據直角三角形的性質計算FE和FD的長，用關于t的式子表示，計算可得t的值．

解：（1）依題意可得：AP=2，PD=10-2，CD=AB=4，

在Rt△PDC中，由勾股定理可得：

PC2= PD2+ CD2=(10-2)2+16，

∴正方形PCEF的面積為(10-2)2+16，

當正方形PCEF的面積為25時，有(10-2)2+16=25，

解得：t1=3.5，t2=6.5（不合題意，舍去）

∴當=3.5s時，正方形PCEF的面積為25cm2．

（2）過點F作FM⊥AD于點M，過點E作EN⊥BC的延長線于點N，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠PDC =90°，

∴∠PDC =∠FMP =90°，且∠DPC +∠PCD =90°，

∵四邊形PCEF是正方形，

∴PF=CP，∠DPC +∠FPM =90°，

∴∠PCD=∠FPM，

∴△PCD≌△FPM（AAS），

∴FM=PD=10-2，PM=CD=4，

同理可得：△PCD≌△ECN，

∴EN=PD=10-2，CN=CD=4，

∵S△DEF= S正方形PCEF- S△PDF- S△PDC- S△DCE，

∴

，

∵，

∴當s時，取得最小值為6．

（3）過點D作DG⊥EN于點G，則四邊形DCNG是正方形，

∴GN=DG=DC=4，

∴EG=EN-GN=10-2-4=6-2，

在Rt△DGE中，DE2= DG2+ EG2=16+(6-2)2，

在Rt△FMD中，DM=PD-PM=10-2-4=6-2，

∴FD2= FM2+DM2=(10-2)2+(6-2)2，

在Rt△PCD中，PC2= PD2+CD2= (10-2)2+16，

∴EF2= (10-2)2+16=(10-2)2+(6-2)2，

解得：t1=1，t2=5（不合題意，舍去），

若FE=DE，則有(10-2)2+16=16+(6-2)2，

解得：t =4，

若FD=DE，則有(10-2)2+(6-2)2=16+(6-2)2，

解得：t1=3，t2=7（不合題意，舍去），

綜上所述，當s，3 s或4 s時，△DEF為等腰三角形．