Question

【題目】如圖，CE是ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交于點E．連接AC，BE，DO，DO與AC交于點F，則下列結論：①四邊形ACBE是菱形；②∠ACD＝∠BAE；③AF：BE＝2：3；④S四邊形AFOE：S△COD＝2：3；以上四個結論中所有正確的結論是（　　）

A.①②B.①②③C.②④D.①②④

Answer 1

【答案】D

【解析】

先證明△AOE∽△DCE，得到＝＝＝，得到OE＝OC，從而證明四邊形ACBE是平行四邊形，再根據AB⊥EC，證明四邊形ACBE是菱形，判斷①選項；根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AC＝AD＝AE，從而判斷②選項；根據OA∥CD，得到＝＝，從而求出AF：BE，判斷③選項；設△AOF的面積為a，則△OFC的面積為2a，△CDF的面積為4a，△AOC的面積＝△AOE的面積＝3a，從而寫出S四邊形AFOE：S△COD，判斷④選項.

解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∵EC垂直平分AB，

∴OA＝OB＝AB＝DC，CD⊥CE，

∵OA∥DC，

∴△AOE∽△DCE，

∴＝＝＝，

∴AE＝AD，OE＝OC，

∵OA＝OB，OE＝OC，

∴四邊形ACBE是平行四邊形，

∵AB⊥EC，

∴四邊形ACBE是菱形，故①正確，

∵∠DCE＝90°，DA＝AE，

∴AC＝AD＝AE，

∴∠ACD＝∠ADC＝∠BAE，故②正確，

∵OA∥CD，

∴＝＝，

∴＝＝，故③錯誤，

設△AOF的面積為a，則△OFC的面積為2a，△CDF的面積為4a，△AOC的面積＝△AOE的面積＝3a，

∴四邊形AFOE的面積為4a，△ODC的面積為6a

∴S四邊形AFOE：S△COD＝2：3．故④正確，

故選：D．