Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2﹣x﹣4交x軸于A、B兩點，交y軸于點C.

(1)點P為線段BC下方拋物線上的任意一點，一動點G從點P出發沿適當路徑以每秒1個單位長度運動到y軸上一點M，再沿適當路徑以每秒1個單位長度運動到x軸上的點N，再沿x軸以每秒個單位長度運動到點B.當四邊形ACPB面積最大時，求運動時間t的最小值；

(2)過點C作AC的垂線交x軸于點D，將△AOC繞點O旋轉，旋轉后點A、C的對應點分別為A1、C1，在旋轉過程中直線A1C1與x軸交于點Q.與線段CD交于點I.當△DQI是等腰三角形時，直接寫出DQ的長度.

Answer 1

【答案】(1)t的最小值為；(2)DQ的長度為或或﹣或或.

【解析】

(1)過點B作BK⊥BC交y軸于點K，作P′H⊥BK交BK于點H、交y軸于點M、交x軸于點N，則此時運動的時間最小，即可求解；

(2)將△AOC繞點O旋轉，相當于存在一個半徑為OR圓O，在整個旋轉過程中，AC始終為垂直于OR的切線，確定圓的半徑OR后，分OR靠近x軸、y軸兩種大情況，分別在四個象限逐次求解即可.

解：(1)作PS∥y軸交BC于S，

y＝x2﹣x﹣4，令x＝0，則y＝﹣4，令y＝0，則x＝-3或4，

故點A、B、C的坐標分別為(﹣3，0)、(4，0)、(0，﹣4)，

則直線BC的表達式為：y＝x﹣4，

S四邊形ACPB＝S△ABC+S△PBC，

∵S△ABC為常數，

∴只要S△PBC取得最大值，四邊形ACPB面積即為最大，

設點P(x，x2﹣x﹣4)，則點S(x，x﹣4)，

S△PBC＝×PS×OB＝×4×(x﹣4﹣x2+x+4)＝x2+x，

∵<0，則S△PBC有最大值，即四邊形ACPB面積有最大值，

此時，x＝2，故點P(2，﹣).

作點P關于y軸的對稱點P′(﹣2，﹣)，

過點B作BK⊥BC交y軸于點K，作P′H⊥BK交BK于點H、交y軸于點M、交x軸于點N，

則此時運動的時間最小，

t＝P′M+MN+BN＝PM+MN+HN，

直線BK⊥BC，則直線BK的表達式為：y＝﹣x+b，

將點B的坐標代入上式并解得：

直線BK的表達式為：y＝﹣x+4…①，

同理可得直線P′H的表達式為：y＝x﹣…②，

聯立①②并解得：x＝，

故點H(，)，

則t＝P′H＝＝，

故運動時間t的最小值為；

(2)∵AC⊥AD，

則直線CD的表達式為：y＝x﹣4，

故點D(，0)；

如圖2，過點O作OR⊥AC于點R，

由面積公式得：OR×AC＝OA×OC，

即：OR＝ ＝，

設∠ODC＝α，則tanα＝，sinα＝，

則tan2α＝，tan＝(證明見備注)，

情況一：當OR靠近y軸時，

①當OR在一、三象限時，如圖3，4：

在圖3中，IQ＝ID，

則OQ＝＝＝4，

故QD＝+4＝；

在圖4中，IQ＝ID，

同理QD＝﹣4＝；

②當OR在二、四象限時，如圖5，6：

在圖5中，DI＝DQ，

則∠DQI＝∠DIQ＝∠ODC＝α，

OQ＝＝，

則DQ＝﹣，

在圖6中，是與線段CD的延長線相交，不符合題意；

情況二：當OR靠近x軸時，

如下圖：當點R在二、四象限時，如圖7，

見左側圖，是與線段DC的延長線相交，不符合題意；

見右側圖，同理可得：DQ＝﹣＝；

當點R在一、三象限時，如圖8，

見左側圖，同理可得：DQ＝﹣

見右側圖，是與線段DC的延長線相交，不符合題意；

綜上所述，DQ的長度為或或﹣或+或或或或.

備注：已知tanα＝，求tan2α和tan.

如圖△ABD是以BD為底的等腰三角形，AC⊥BD，過點D作DH⊥AB，

則設：∠DAC＝∠BAC＝α，tanα＝，設BC＝CD＝3a，則AC＝4a，

由三角形的面積公式得：AH×AB＝DB×AC，

解得：AH＝＝，

則sin2α＝sin∠BAD＝＝，tan2α＝，

同理可得：tan＝.