Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側）．

（1）求拋物線的對稱軸及線段AB的長；

（2）拋物線的頂點為P，若∠APB=120°，求頂點P的坐標及a的值；

（3）若在拋物線上存在一點N，使得∠ANB=90°，結合圖象，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) x=﹣1 , AB=4 ;(2) 點P的坐標為（﹣1，﹣ ）．a= ; (3) a≥ .

【解析】(1)、根據題意求出點A和點B的坐標，從而得出對稱軸；(2)、設拋物線的對稱軸與x軸交于點H，根據題意得出AH和PH的長度，從而得出點P的坐標，將其代入函數解析式得出a的值；(3)、以AB為直徑作⊙H， 當∠ANB=90°， 點N在⊙H上，將x=－1代入y=－4a得出HP的長度，根據題意得出a的取值范圍．

(1)、解：令y=0得：ax2+2ax﹣3a=0，即a（x+3）（x﹣1）=0，解得：x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0）、B（1，0）， ∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，AB=4；

(2)、解：如圖1所示：設拋物線的對稱軸與x軸交于點H，

∵∠APB=120°，AB=4，PH在對稱軸上， ∴AH=2，∠APB=60°， ∴PH= ，

∴點P的坐標為（﹣1，﹣ ），將點P的坐標代入得：﹣ =﹣4a，解得a= ；

(3)、解：如圖2所示：以AB為直徑作⊙H， ∵當∠ANB=90°， ∴點N在⊙H上，

∵點N在拋物線上， ∴點N為拋物線與⊙H的交點， ∴點P在圓上或點P在圓外，

∴HP≥2， ∵將x=﹣1代入得：y=﹣4a， ∴HP=4a， ∴4a≥2，解得a≥ ，

∴a的取值范圍是a≥ ．