Question

【題目】如圖，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，BD的延長線垂直于過C點的直線于E，直線CE交BA的延長線于F．求證：BD=2CE．

Answer 1

【答案】見解析。

【解析】

求出∠FBE=∠CBE，∠BEF=∠BEC=90°，根據ASA可證明Rt△BEF≌Rt△BEC，即可得CF=2CE，由等腰直角三角形的性質可得∠ABC=∠ACB=45°，根據BD是∠ABC的平分線可得∠F=∠ADB=67.5°，通過AAS可證明△ABD≌△ACF，根據全等三角形性質可得BD=CF，即可證明BD=2CE．

∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠FBE=∠CBE，

∵BE⊥CF，

∴∠BEF=∠BEC=90°，

在Rt△BEF和Rt△BEC中，，

∴Rt△BEF≌Rt△BEC（ASA）．

∴CE=EF，

∴CF=2CE，

∵∠BAC=90°，且AB=AC，

∴∠FAC=∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，

∵BD是∠ABC的平分線，

∴∠FBE=∠CBE=22.5°，

∴∠F=90°-22.5°=67.5°，∠ADB=90°-22.5°=67.5°，

∴∠F=∠ADB，

在△ABD和△ACF中，，

∴△ABD≌△ACF（AAS），

∴BD=CF，

∵CF=2CE，

∴BD=2CE．