Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A、D兩點，與y軸交于點B，四邊形OBCD是矩形，點A的坐標為（1，0），點B的坐標為（0，4），已知點E（m，0）是線段DO上的動點，過點E作PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，交BD于點H．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）當點P在直線BC上方時，請用含m的代數式表示PG的長度；

（3）在（2）的條件下，是否存在這樣的點P，使得以P、B、G為頂點的三角形與△DEH相似？若存在，求出此時m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）PG＝﹣m2﹣3m，（3）m＝﹣2

【解析】

（1）將A（1，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c，運用待定系數法即可求出拋物線的解析式；

（2）先求出拋物線與直線BC的交點為（﹣2，4）（0，4），得出點P在直線BC上方時，m的取值范圍，再根據P（m，﹣m2﹣3m+4），G（m，4），求出PG＝﹣m2﹣m；

（3）先求出直線BD的解析式，進而求出H的坐標，然后分兩種情況和進行討論即可.

解：（1）∵點A和點B在拋物線上, 將A（1，0），B（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c得

解得

∴該拋物線的解析式為：y＝﹣x2﹣3x+4；

（2）∵4＝﹣m2﹣3m+4，解得m＝﹣3或0，

∴拋物線與直線BC的交點為（﹣3，4）（0，4），

∴點P在直線BC上方時，m的取值范圍是：﹣3＜m＜0，

∵E（m，0），B（0，4），

∵PE⊥x軸交拋物線于點P，交BC于點G，

∴P（m，﹣m2﹣3m+4），G（m，4），

∴PG＝﹣m2﹣3m+4﹣4＝﹣m2﹣3m，

（3）∵y＝﹣x2﹣3x+4；

∴當y=0時，或-4

設直線BD的解析式為

將B,D兩點代入中，得

解得

∴直線BD的解析式為

①若，那么

即

∴m＝﹣2或m＝0

∵﹣3＜m＜0故m＝﹣2

②若，那么

即

∴m＝﹣2或m＝0

∵﹣3＜m＜0故m＝﹣2

綜上所述，m＝﹣2