Question

【題目】如圖，BE是⊙O的直徑，點A在EB的延長線上，弦PD⊥BE，垂足為C，連接OD，

∠AOD=∠APC．

（1）求證：AP是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑是4，AP=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OP，證明OP⊥AP,利用等腰三角形的性質和直角三角形的性質證明即可；（2）根據扇形POD面積減去△OPD的面積即為陰影部分的面積，求出相關數據代入計算.

（1）證明:連結OP,∵PD⊥BE,如圖.

∴∠OCD=90°，

∴∠ODC+∠COD=90°，

∵OD=OP，

∴∠ODC=∠OPC，

∵∠COD=∠APC，

∴∠OPC+∠APC=90°，

∴∠APO=90°,即AP⊥PO，

∵P在⊙O上,∴AP是⊙O的切線.

（2）在Rt△APO中，tan∠AOP=，

∴∠AOP=60°，∴∠OPC=30°，

∴OC=2，∴PC= ，

∴PD=，

∵OD=OP，OB⊥PD，

∴∠POB=∠COD=60°，

∴∠POD=120°，

∴陰影部分面積為： .