Question

【題目】如圖①拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸，y軸分別交于點A（﹣1，0），B（3，0），點C三點．

（1）試求拋物線的解析式；

（2）點D（2，m）在第一象限的拋物線上，連接BC，BD．試問，在對稱軸左側的拋物線上是否存在一點P，滿足∠PBC＝∠DBC？如果存在，請求出點P點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）點N在拋物線的對稱軸上，點M在拋物線上，當以M、N、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形時，請直接寫出點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在．理由見解析；（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．

【解析】

（1）由已知，應用待定系數法問題可解；

（2）根據已知條件求出點D的坐標，并且由線段OC、OB相等、CD∥x軸及等腰三角形性質證明△CDB≌△CGB，利用全等三角形求出點G的坐標，求出直線BP的解析式，聯立二次函數解析式，求出點P的坐標．

（3）設出點N坐標，根據平行四邊形對角線互相平分的性質，表示點M坐標，代入函數關系式，問題可解.

解：如圖：

（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸，y軸分別交于點A（﹣1，0），B（3，0），點C三點．

∴ 解得

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）存在．理由如下：

y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4．

∵點D（2，m）在第一象限的拋物線上，

∴m＝3，∴D（2，3），

∵C（0，3）

∵OC＝OB，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°．

連接CD，∴CD∥x軸，

∴∠DCB＝∠OBC＝45°，

∴∠DCB＝∠OCB，

在y軸上取點G，使CG＝CD＝2，

再延長BG交拋物線于點P，

在△DCB和△GCB中，

CB＝CB，∠DCB＝∠OCB，CG＝CD，

∴△DCB≌△GCB（SAS）

∴∠DBC＝∠GBC．

設直線BP解析式為yBP＝kx+b（k≠0），把G（0，1），B（3，0）代入，得

k＝﹣，b＝1，

∴BP解析式為yBP＝﹣x+1．

yBP＝﹣x+1，y＝﹣x2+2x+3

當y＝yBP 時，﹣x+1＝﹣x2+2x+3，

解得x1＝﹣，x2＝3（舍去），

∴y＝，

∴P（﹣，）．

（3）M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）．

設點N坐標為（1span>，n）

當BC、MN為平行四邊形對角線時，由BC、MN互相平分，M坐標為（2,3-n）

代入y＝﹣x2+2x+3，3-n=﹣22+4+3，n=0；M（2,3）

當BM、NC為平行四邊形對角線時，由BM、NC互相平分，M坐標為（-2,3+n）

代入y＝﹣x2+2x+3，3+n=﹣4-4+3，n=-8；M（-2,-5）

當MC、BN為平行四邊形對角線時，由MC、BN互相平分，M坐標為（4, n-3）

代入y＝﹣x2+2x+3，n-3=﹣16+8+3，n=-2；M（4,-5）

故答案為：M1（﹣2，﹣5），M2（4，﹣5），M3（2，3）