Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是直徑，P為AB上一點，過點P作弦MN，∠NPB＝45°.

(1)若AP＝2，BP＝6，求MN的長；

(2)若MP＝3，NP＝5，求AB的長；

(3)若⊙O的半徑為R，求PM2＋PN2的值．

Answer 1

【答案】(1)MN＝2(2)2(3)PM2＋PN2＝2R2

【解析】試題分析：（1）作OH⊥MN于H，連接ON，先計算出，在Rt△POH中，由于則再在Rt△OHN中，利用勾股定理計算出然后根據垂徑定理由OH⊥MN，得到HM=HN，

所以
（2）作OH⊥MN于H，連接ON，先計算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由得到OH=1，再在Rt△OHN中，利用勾股定理可計算出

（3）作OH⊥MN于H，連接ON，根據垂定理得HM=HN，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到 在Rt△POH中，由得，則 然后變形可得到 所以的值為

試題解析：(1)作OH⊥MN于H，連接ON，

∵AP=2，BP=6，

∴AB=8，

∴OA=4，OP=2，

在Rt△POH中,

在Rt△OHN中,

∵OH⊥MN，

∴HM=HN，

(2)作OH⊥MN于H，連接ON，

則HM=HN，

∵MP=3,NP=5,

∴MN=8，

∴HM=HN=4，

∴PH=1，

在Rt△POH中,

∴OH=1，

在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，

(3)作OH⊥MN于H，連接ON，

則HM=HN，

在Rt△OHN中,

在Rt△POH中,

∴OH=PH，

∴