Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是矩形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分∠DAM.

（1）證明：AM=AD+MC.

（2）若四邊形ABCD是平行四邊形，其它條件不變，如圖，（1）中的結論是否成立？

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）詳見解析.

【解析】

(1)從平行線和中點這兩個條件出發，延長AE、BC交于點F，易證Rt△ADE≌Rt△FCE，從而有AD=CF，只需證明AM=MF即可;(2) AM=AD+MC仍然成立，理由為：由四邊形ABCD為平行四邊形，得到AD與BC平行，利用兩直線平行內錯角相等得到∠DAE=∠F，再由AE為角平分線得到一對角相等，利用等角對等邊得到AM=MF，利用AAS得到三角形ADE與三角形FCE全等，利用全等三角形的對應邊相等得到AD=CF，根據AM=MF=AD+MC,即可得證．

（1）延長AE交BC的延長線于點F,

∵E是CD邊的中點，

∴DE=EC

∵四邊形ABCD是矩形

∴AD//CF

∴∠DAE=∠CFE

又∵AE平分∠DAM

∴∠MAE=∠DAE=∠F

∴AM=MF，

∵∠AED=∠FEC,

∴△ADE≌△FCE（AAS）

∴AD=CF

∴AM=MF=AD+MC;

（2）AM=AD+MC成立，
理由：在平行四邊形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠F，
∵AE平分AE平分∠DAM，
∴∠DAE=∠FAM，
∴∠F=∠FAM，
∴AM=FM，
∵E是CD的中點，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，

，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴AD=CF，
∵AM=FM=FC+CM，
∴AM=AD+MC．