Question

【題目】閱讀下面材料：

已知：如圖，在正方形ABCD中，邊AB=a1．

按照以下操作步驟，可以從該正方形開始，構造一系列的正方形，它們之間的邊滿足一定的關系，并且一個比一個小．

操作步驟	作法	由操作步驟推斷（僅選取部分結論）
第一步	在第一個正方形ABCD的對角線AC上截取AE=a1，再作EF⊥AC于點E，EF與邊BC交于點F，記CE=a2	（i）△EAF≌△BAF（判定依據是①）； （ii）△CEF是等腰直角三角形； （iii）用含a1的式子表示a2為②：
第二步	以CE為邊構造第二個正方形CEFG；
第三步	在第二個正方形的對角線CF上截取FH=a2，再作IH⊥CF于點H，IH與邊CE交于點I，記CH=a3：	（iv）用只含a1的式子表示a3為③：
第四步	以CH為邊構造第三個正方形CHIJ
這個過程可以不斷進行下去．若第n個正方形的邊長為an，用只含a1的式子表示an為④

請解決以下問題：

（1）完成表格中的填空：

①　 　；②　 　；③　 　；④　 　；

（2）根據以上第三步、第四步的作法畫出第三個正方形CHIJ（不要求尺規作圖）．

Answer 1

【答案】（1）①斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等②（﹣1）a1；③(－1)2a1；④(－1)n－1a1；（2）見解析.

【解析】

（1）①由題意可知在Rt△EAF和Rt△BAF中，AE=AB，AF=AF，所以Rt△EAF≌Rt△BAF；

②由題意得AB=AE=a1，AC=a1，則CE=a2=a1﹣a1=（﹣1）a1；

③同上可知CF=CE=（－1）a1，FH=EF=a2，則CH=a3=CF﹣FH=(－1)2a1；

④同理可得an=(－1)n－1a1；

（2）根據題意畫圖即可.

解：（1）①斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等；

理由是：如圖1，在Rt△EAF和Rt△BAF中，

∵，

∴Rt△EAF≌Rt△BAF（HL）；

②∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC=a1，∠ABC=90°，

∴AC=a1，

∵AE=AB=a1，

∴CE=a2=a1﹣a1=（﹣1）a1；

③∵四邊形CEFG是正方形，

∴△CEF是等腰直角三角形，

∴CF=CE=（－1）a1，

∵FH=EF=a2，

∴CH=a3=CF﹣FH=（－1）a1﹣（－1）a1=(－1)2a1；

④同理可得：an=(－1)n－1a1；

故答案為：①斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等②（﹣1）a1；③(－1)2a1；④(－1)n－1a1；

（2）所畫正方形CHIJ見右圖.