Question

【題目】已知O為坐標原點，拋物線y＝x2﹣3x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的右側），有點C(﹣2，6)．

（1）求A，B兩點的坐標．

（2）若點D(1，﹣3)，點E在線段OA上，且∠ACB＝∠ADE，延長ED交y軸于點F，求△EFO的面積．

（3）若M在直線AC上，點Q在拋物線上，是否存在點M和點N，使以Q，M，N，A為頂點的四邊形是正方形？若存在，直接寫出M點的坐標．若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A(4，0)，B(﹣1，0)；（2）；（3）存在，或M(0，4)或M(8，﹣4)

【解析】

（1）令x2﹣3x﹣4＝0求出解即可求點的坐標；

（2）過點B作BG⊥AC，過點作，設E（m，0），由△ABC、△ADE的面積可求、 ，因為根據相似三角形的性質求出m的值，確定E、F點坐標即可求；

（3）當AC為正方形QAMN邊時，M點與N點關于x軸對稱；M、N的中點與A、Q中點相同可求M的坐標；當M、Q關于x軸對稱時，M（0，4），此時Q（0，﹣4）在拋物線上；當Q（0，﹣4）時，M（8，﹣4）．

解：（1）令x2﹣3x﹣4＝0，解得x＝4或x＝﹣1，

∵點A在點B的右側

∴A（4，0），B（﹣1，0）；

（2）過點B作BG⊥AC，過點作，如圖：

設E（m，0），

∵C（﹣2，6），D（1，﹣3），

AC＝ ，AD＝，BC＝

由△ABC的面積可得

∴

由△ADE的面積可得，

∴

∵∠ACB＝∠ADE，

∴

∴

∴

∴2m2﹣41m+57＝0

∴或m＝19

∵點E在線段OA上

∴

∵設ED的直線解析式為，，

∴

∴

∴ED的直線解析式為

∴當時，

∴

∴

（3）設的直線解析式為，，

∴

∴

∴直線的解析式為

∵

∴∠CAO＝45°，

設M（t，﹣t+4），

①當M點與N點關于x軸對稱時，如圖：

∴N（t，t﹣4），

∴M、N的中點為（t，0），

∴A、Q中點也為（t，0），

∴Q（2t﹣4，0），

∵點Q在拋物線上，

∴2t﹣4＝﹣1，

∴

∴

②當M、Q關于x軸對稱時，M（0，4），此時Q（0，﹣4）在拋物線上，如圖：

③當Q（0，﹣4）時，M（8，﹣4），如圖：

∴綜上所述：或M（0，4）或M（8，﹣4）．

故答案是：（1）A(4，0)，B(﹣1，0)；（2）；（3）存在，或M(0，4)或M(8，﹣4)