Question

【題目】在△ABC中，，BE是AC邊上的中線，點D在射線BC上．

（1）如圖1，點D在BC邊上，，AD與BE相交于點P，過點A作，交BE的延長線于點F，易得的值為 ；

（2）如圖2，在△ABC中，，點D在BC的延長線上，AD與AC邊上的中線BE的延長線交于點P，，求的值；

（3）在（2）的條件下，若CD=2，AC=6，則BP= ．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）6

【解析】

（1）易證△AEF≌△CEB，則有AF=BC．設CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，由AF∥BC可得△APF∽△DPB，然后根據相似三角形的性質就可求出的值；（2）過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，設DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．易證△AEF≌△CEB，則有EF=BE，AF=BC=2k．易證△AFP∽△DBP，然后根據相似三角形的性質就可求出的值；

（3）當CD=2時，可依次求出BC、AC、EC、EB、EF、BF的值，然后根據的值求出的值，就可求出BP的值．

解：（1）如圖1中，

∵AF∥BC，
∴∠F=∠EBC，
∵∠AEF=∠BEC，AE=EC，
∴△AEF≌△CEB（AAS），
∴AF=BC．
設CD=k，則DB=2k，AF=BC=3k，
∵AF∥BC，

∴△APF∽△DPB，
∴，

故答案是：；

（2）如圖2，過點A作AF∥DB，交BE的延長線于點F，

設DC=k，由DC：BC=1：2得BC=2k，DB=DC+BC=3k．
∵E是AC中點，
∴AE=CE．
∵AF∥DB，
∴∠F=∠1．
在△AEF和△CEB中，

，

∴△AEF≌△CEB，
∴EF=BE，AF=BC=2k．
∵AF∥DB，
∴△AFP∽△DBP，
∴；

（3）當CD=2時，BC=4，

∵AC=6，
∴EC=AE=3，

∴EB=

∴EF=BE=5，BF=10．
∵，

，

∴BP=BF=×10=6．
故答案為6．