Question

已知：如圖，二次函數y=x²+（2k-1）x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使銳角△AOB的面積等于3．求點B的坐標；
（3）對于（2）中的點B，在拋物線上是否存在點P，使∠POB=90°？若存在，求出點P的坐標，并求出△POB的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）∵y=x²+（2k-1）x+k+1過（0，0），
∴k+1=0，k=-1，
y=x²-3x．

（2）設B（x₀，y₀），
∵y=x²-3x的對稱軸為直線x=

3

2

∴x₀＞

3

2

，y₀＜0，
易知：A（3，0），即OA=3，
又∵

1

2

×OA•|y₀|=3
∴y₀=±2
當y₀=-2時，-2=x₀²-3x₀，
解得，x₀=2，x₀=1（舍去）；
∴B（2，-2）；

（3）當B（2，-2）時，直線OB的解析式為y=-x，
∵B0⊥PO，
∴直線0P的解析式為y=x，
∵兩函數相交
∴P₁（0，0）舍去，P₂（4，4）；
由勾股定理算出OB=2

2

，OP=4

2

，
S_△OPB=

1

2

×2

2

×4

2

=8．