Question

如圖，在半徑為r的半圓⊙O中，半徑OA⊥直徑BC，點E、F分別在弦AB、AC上滑動并保持AE=CF，但點F不與A、C重合，點E不與A、B重合．
（1）求證：S_{四邊形AEOF}=

1

2

r²；
（2）設AE=x，S_△OEF=y，寫出y與x之間的函數關系式及自變量x的范圍；
（3）當S_△OEF=

5

18

S_△ABC時，求點E、F分別在AB、AC上的位置及EF的長．

Answer 1

（1）證明：∵OA=OC，AE=CF，∠EAO=∠C=45°
∴△AOE≌△COF，
∴四邊形AEOF的面積=△AOC的面積=

1

2

r²．

（2）∵S_△OEF=S_{四邊形AEOF}-S_△AEF=

1

2

r²-

1

2

（

2

r-x）•x=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²，
∴y=

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²（0＜x＜

2

r）

（3）當S_△OEF=

5

18

S_△ABC時，y=

5

18

r²
∴

1

2

x²-

2

2

rx+

1

2

r²=

5

18

r²
∴x₁=

2

3

r，x2=

2 2

3

r，
∴

AE

AB

=

1

3

，

AF

AC

=

2

3

或

AE

AB

=

2

3

，

AF

AC

=

1

3

即AE=

1

3

AB，AF=

2

3

AC或AE=

2

3

AB，AF=

1

3

AC．
∴EF=

10

3

r．