Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，對稱軸為直線，點的坐標為．

（1）求該拋物線的表達式及頂點坐標；

（2）點為拋物線上一點（不與點重合），聯結．當時，求點的坐標；

（3）在（2）的條件下，將拋物線沿平行于軸的方向向下平移，平移后的拋物線的頂點為點，點的對應點為點，當時，求拋物線平移的距離．

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）拋物線平移的距離為．

【解析】

（1）根據點A的坐標及對稱軸可以先得出點B的坐標，再將A,B的坐標代入表達式即可求出結果，進而得出頂點坐標；

（2）由∠PCB=∠ACB和∠ABC=45°聯想到構造全等三角形，過點作軸，垂足為點,過點作，交的延長線于點，可得出，再由，可得出.設PM=a,用a表示出點P的橫坐標，代入解析式，可求出a的值，進而得出點P的坐標.

（3）過點作直線軸，交軸于點，交的延長線于點,可得，根據，得，用含m的式子表示出OE,QF的長，然后列出關于m的方程，求出m即可.

解：（1）∵的坐標為，對稱軸為直線，∴點的坐標為

將、代入，得

解得：

所以，．

當時，，

∴頂點坐標為．

（2）過點作軸，垂足為點．過點作，交的延長線于點．

∵，∴四邊形為矩形．

∴，．

∵，∴點的坐標為．

∵，∴．

∵，∴，

又∵，∴，即．

∴．∴．

設，則，．

∴．

將代入，得

．

解得，（舍）．∴．

（3）設拋物線平移的距離為,如圖．得，

∴的坐標為．

過點作直線軸，交軸于點，交的延長線于點．

∵，

∴，，

∴，

∴．

∴．

∴．

解得．

即拋物線平移的距離為．