Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，BC⊥AB于點B，連接OC交⊙O于點E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于點G．

（1）求證：點E是弧BD的中點；

（2）求證：CD是⊙O的切線；

（3）若tan∠ADG＝，⊙O的半徑為5，求DF的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接OD，如圖，根據平行線的性質得∠BOC＝∠A，∠DOC＝∠ODA，由∠A＝∠ODA，得出∠BOC＝∠DOC，然后根據圓心角、弧、弦的關系即可得出結論；

（2）先證明△OCD≌△OCB得到∠ODC＝∠OBC＝90°，然后根據切線的判定方法得到結論；

（3）在Rt△ADG中用勾股定理得到OD2＝DG2+OG2進行求解．

（1）證明：連接OD，如圖，

∵AD∥OC，

∴∠BOC＝∠A，∠DOC＝∠ODA，

∵OA＝OD，

∴∠A＝∠ODA，

∴∠BOC＝∠DOC，

∴，

即點E是弧BD的中點；

（2）證明：在△OCD和△OCB中，，

∴△OCD≌△OCB（SAS），

∴∠ODC＝∠OBC＝90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（3）解：在△ADG中，tan∠ADG＝＝，

設DG＝4x，AG＝3x；

又∵⊙O的半徑為5，

∴OG＝5﹣3x；

∵OD2＝DG2+OG2，

∴52＝（4x）2+（5﹣3x）2；

∴x1＝，x2＝0；（舍去）

∴DF＝2DG＝2×4x＝8x＝8×＝．