Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y= x+6與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點，將∠OBA對折，使點O的對應點H落在直線AB上，折痕交x軸于點C．

（1）直接寫出點C的坐標，并求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）若（1）中拋物線的頂點為D，在直線BC上是否存在點P，使得四邊形ODAP為平行四邊形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；
（3）若把（1）中的拋物線向左平移3.5個單位，則圖象與x軸交于F、N（點F在點N的左側）兩點，交y軸于E點，則在此拋物線的對稱軸上是否存在一點Q，使點Q到E、N兩點的距離之差最大？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：連接CH，

由軸對稱得CH⊥AB，BH=BO，CH=CO

∴在△CHA中由勾股定理，得

AC2=CH2+AH2

∵直線y= x+6與x軸、y軸的交點分別為A、B兩點，

∴當x=0時，y=6，當y=0時，x=8

∴B（0，6），A（8，0）

∴OB=6，OA=8，

在Rt△AOB中，由勾股定理，得

AB=10

設C（a，0），∴OC=a

∴CH=a，AH=4，AC=8﹣a，在Rt△AHC中，

由勾股定理，得

（8﹣a）2=a2+42解得

a=3

C（3，0）

設拋物線的解析式為：y=ax2+bx+c，由題意，得

解得：

∴拋物線的解析式為：y= x2 +6，

∴y=

（2）

解：由（1）的結論，得

D（ ，﹣ ）

∴DF= ，

設BC的解析式為：y=kx+b，則有

解得：

直線BC的解析式為：y=﹣2x+6

設存在點P使四邊形ODAP是平行四邊形，P（m，n）

作PE⊥OA于E，HD交OA于F．

∴∠PEO=∠AFD=90°，PO=DA，PO∥DA

∴∠POE=∠DAF

∴△OPE≌△ADF

∴PE=DF=n= ，

∴ =﹣2x+6

∴

P（ ， ）

當x= 時，

y=﹣2× +6=1≠

∴點P不再直線BC上，即直線BC上不存在滿足條件的點P

（3）

解：由題意得，平移后的解析式為：

y= （x﹣2）2

∴對稱軸為：x=2，

當x=0時，y=﹣

當y=0時，0= （x﹣2）2

解得：x1= ；x2=

∵F在N的左邊

F（ ，0），E（0，﹣ ），N（ ，0）

連接EF交x=2于Q，設EF的解析式為：y=kx+b，則有

解得：

∴EF的解析式為：y=﹣ x﹣

∴

解得：

∴Q（2，﹣ ）．

【解析】（1）根據軸對稱和角平分線的性質以及勾股定理可以求出OC的長度，從而求出點C的坐標．再根據直線的解析式求出A、B的坐標，最后利用待定系數法就可以求出拋物線的解析式．（2）根據（1）的解析式可以轉化為頂點式而求出頂點坐標D，利用B、C的坐標求出BC的解析式，假設在直線BC上存在滿足條件的點P，利用平行四邊形的性質和三角形全等的性質求出點P的坐標，得到點P不在直線BC上，而得出結論．（3）平移后根據（1）的解析式可以得到平移后的解析式，頂點坐標及對稱軸，可以求出與坐標軸的交點F、N、E的坐標，連接EF，根據E、F的坐標求出其解析式，求出EF與對稱軸的交點，就是Q點．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．