Question

【題目】如圖AB是⊙O的直徑，∠A=30°，延長OB到D使BD=OB．
（1）△OBC是否是等邊三角形？說明理由；
（2）求證：DC是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：△OBC是等邊三角形．理由如下：

∵∠A=30°，

∴∠BOC=60°，

∵OB=OC，

∴△OBC是等邊三角形

（2）證明：∵BD=OB，△OBC是等邊三角形．

∴∠OCB=∠OBC=60°，BD=BC．

∴∠BCD=30°．

∴∠OCD=90°．

∴DC是⊙O的切線

【解析】（1）根據同弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，可知∠BOC=60°，又OB=OC，依此可以證明△OBC是否是等邊三角形．（2）要證PC是⊙O的切線，只要證明∠DCO=90°即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等邊三角形的判定和圓周角定理的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握三個角都相等的三角形是等邊三角形；有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．