Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，⊙M經過原點O（0，0），點A（ ，0）與點B（0，﹣ ），點D在劣弧 上，連接BD交x軸于點C，且∠COD=∠CBO．
（1）求⊙M的半徑；
（2）求證：BD平分∠ABO；
（3）在線段BD的延長線上找一點E，使得直線AE恰好為⊙M的切線，求此時點E的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點A（ ，0）與點B（0，﹣ ），

∴OA= ，OB= ，

∴AB= =2 ，

∵∠AOB=90°，

∴AB是直徑，

∴⊙M的半徑為：

（2）解：∵∠COD=∠CBO，∠COD=∠CBA，

∴∠CBO=∠CBA，

即BD平分∠ABO

（3）解：如圖，過點A作AE⊥AB，垂足為A，交BD的延長線于點E，過點E作EF⊥OA于點F，即AE是切線，

∵在Rt△AOB中，tan∠OAB= = = ，

∴∠OAB=30°，

∴∠ABO=90°﹣∠OAB=60°，

∴∠ABC=∠OBC= ∠ABO=30°，

∴OC=OBtan30°= × = ，

∴AC=OA﹣OC= ，

∴∠ACE=∠ABC+∠OAB=60°，

∴∠EAC=60°，

∴△ACE是等邊三角形，

∴AE=AC= ，

∴AF= AE= ，EF= AE= ，

∴OF=OA﹣AF= ，

∴點E的坐標為：（ ， ）．

【解析】（1）由點A（ ，0）與點B（0，﹣ ），可求得線段AB的長，然后由∠AOB=90°，可得AB是直徑，繼而求得⊙M的半徑；（2）由圓周角定理可得：∠COD=∠ABC，又由∠COD=∠CBO，即可得BD平分∠ABO；（3）首先過點A作AE⊥AB，垂足為A，交BD的延長線于點E，過點E作EF⊥OA于點F，易得△AEC是等邊三角形，繼而求得EF與AF的長，則可求得點E的坐標．