Question

【題目】已知函數f（x）=（x2﹣2x）1nx+ax2+2，g（x）=f（x）﹣x﹣2． （Ⅰ）當a=﹣1時，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若a＞0且函數g（x）有且僅有一個零點，求實數a的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若e﹣2＜x＜e時，g（x）≤m恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）當a=﹣1時，f（x）=（x2﹣2x）1nx﹣x2+2定義域（0，+∞）， f'（x）=（2x﹣2）1nx+（x﹣2）﹣2x，
∴f'（1）=﹣3，又f（1）=1，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程3x+y﹣4=0．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，則（x2﹣2x）1nx+ax2+2=x+2
即
令 ，
則 = ，
令t（x）=1﹣x﹣21nx，則 ，
∵x∈（0，+∞），∴t'（x）＜0，
∴t（x）在（0，+∞）上是減函數，
又∵t（1）=h'（1）=0，
∴當0＜x＜1時，h'（x）＞0，當x＞1時，h'（x）＜0，
∴h（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減，
∴h（x）max=h（1）=1＞0，
又∵ ， ，a＞0
∴當函數g（x）有且僅有一個零點時，a=1
（Ⅲ）當a=1，g（x）=（x2﹣2x）1nx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，
只需證明g（x）max≤m，g'（x）=（x﹣1）（3+21nx）
令g'（x）=0得x=1或 ，又∵e﹣2＜x＜e，
∴函數g（x）在 上單調遞增，
在 上單調遞減，在（1，e）上單調遞增，
即 是g（x）的極大值點，
又 ，g（e）=2e2﹣3e
∵ ，
∴ ，∴m≥2e2﹣3e，
∴實數m的取值范圍是（2e2﹣3e，+∞）．
【解析】（Ⅰ）當a=﹣1時，f'（x）=（2x﹣2）1nx+（x﹣2）﹣2x，由此利用導數的幾何意義能求出f（x）在（1，f（1））處的切線方程．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，則 令 ，則h′（x）= ，令t（x）=1﹣x﹣21nx，則 ，由此利用導數性質能求出當函數g（x）有且僅有一個零點時a的值．（Ⅲ）當a=1，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需證明g（x）max≤m，由g'（x）=（x﹣1）（3+21nx），求出 是g（x）的極大值點，由此能求出實數m的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的最大(小)值與導數(求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值)的相關知識才是答題的關鍵．